Ketaksamaan Cauchy

Pembuktian Ketaksamaan Cauchy

Didefinisikan fungsi F : R → R sebagai berikut :

F(t) = (a₁ – tb₁)² + (a₂ – tb₂)²  + ……..+ (a_n – tb_n)²  , t є R

Jelas bahwa F(t) ≥ 0, untuk setiap t є R.

Selanjutnya :

F(t) = (a₁² – 2ta₁b₁ + t²b₁² ) + (a₂² – 2ta₂b₂ + t²b₂² ) + …..+ (a_n² – 2ta_nb_n + t²b_n² )

F(t) = (a₁² + a₂² +……. a_n² ) – 2t (a₁b₁ + a₂b₂  + ….+ a_nb_n) + t² (b₁² + b₂² +……. b_n² )

Bentuk terakhir di atas terlihat bahwa F(t) merupakan fungsi kuadrat dengan koefisien dari t² bernilai positif, yang berarti grafiknya berupa parabola terbuka ke atas 

Agar F(t) ≥ 0 maka Diskriminan = D = b² – 4ac ≤ 0

Selanjutnya :  

Dapat ditentukan a = koefisien t² , yaitu :      

b = koefisien t, yaitu :

c = konstanta, yaitu :

Perhatikan :                         

b² – 4ac ≤ 0

Akibat Ketaksamaan Cauchy

Jika n є N dan a1, a2,…,an     serta b1,b2,….bn  adalah bilangan-bilangan real, maka